Operators with the specification property

[EN] We study a version of the specification property for linear dynamics. Operators having the specification property are investigated, and relationships with other well known dynamical notions such as mixing, Devaney chaos, and frequent hypercyclicity are obtained.Supported by MEC and FEDER, Project MTM2013-47093-P, and by GVA, Projects PROMETEOII/2013/013 and Project ACOMP/2015/005.Bartoll Arnau, S.; Martínez Jiménez, F.; Peris Manguillot, A. (2016). Operators with the specification property. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 436:478-488. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2015.12.004S47848843

The specification property for backward shifts

This is an Accepted Manuscript of an article published by Taylor & Francis Group in [Journal of Difference Equations and Applications] on [2012], available online at: http://www.tandfonline.com/10.1080/10236198.2011.586636We characterize when backward shift operators defined on Banach sequence spaces exhibit the strong specification property. In particular, within this framework, the specification property is equivalent to the notion of chaos introduced by Devaney.This work was supported in part by MEC and FEDER, Project MTM2010-14909, and by Generalitat Valenciana, Project PROMETEO/2008/101.Bartoll Arnau, S.; Martínez Jiménez, F.; Peris Manguillot, A. (2012). The specification property for backward shifts. Journal of Difference Equations and Applications. 18(4):599-605. https://doi.org/10.1080/10236198.2011.586636S599605184Bauer, W., & Sigmund, K. (1975). Topological dynamics of transformations induced on the space of probability measures. Monatshefte für Mathematik, 79(2), 81-92. doi:10.1007/bf01585664Bermúdez, T., Bonilla, A., Conejero, J. A., & Peris, A. (2005). Hypercyclic, topologically mixing and chaotic semigroups on Banach spaces. Studia Mathematica, 170(1), 57-75. doi:10.4064/sm170-1-3Bonet, J., Martínez-Giménez, F., & Peris, A. (2001). A Banach Space which Admits No Chaotic Operator. Bulletin of the London Mathematical Society, 33(2), 196-198. doi:10.1112/blms/33.2.196Chan, K., & Shapiro, J. (1991). Indiana University Mathematics Journal, 40(4), 1421. doi:10.1512/iumj.1991.40.40064Costakis, G., & Sambarino, M. (2004). Proceedings of the American Mathematical Society, 132(02), 385-390. doi:10.1090/s0002-9939-03-07016-3Denker, M., Grillenberger, C., & Sigmund, K. (1976). Ergodic Theory on Compact Spaces. Lecture Notes in Mathematics. doi:10.1007/bfb0082364Godefroy, G., & Shapiro, J. H. (1991). Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds. Journal of Functional Analysis, 98(2), 229-269. doi:10.1016/0022-1236(91)90078-jGrosse-Erdmann, K.-G. (2000). Hypercyclic and chaotic weighted shifts. Studia Mathematica, 139(1), 47-68. doi:10.4064/sm-139-1-47-68Grosse-Erdmann, K.-G., & Peris, A. (2010). Weakly mixing operators on topological vector spaces. Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales. Serie A. Matematicas, 104(2), 413-426. doi:10.5052/racsam.2010.25Grosse-Erdmann, K.-G., & Peris Manguillot, A. (2011). Linear Chaos. Universitext. doi:10.1007/978-1-4471-2170-1Lampart, M., & Oprocha, P. (2009). Shift spaces, ω-chaos and specification property. Topology and its Applications, 156(18), 2979-2985. doi:10.1016/j.topol.2009.04.063MARTÍNEZ-GIMÉNEZ, F., & PERIS, A. (2002). CHAOS FOR BACKWARD SHIFT OPERATORS. International Journal of Bifurcation and Chaos, 12(08), 1703-1715. doi:10.1142/s0218127402005418Oprocha, P. (2007). Specification properties and dense distributional chaos. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 17(4), 821-833. doi:10.3934/dcds.2007.17.821Oprocha, P., & Štefánková, M. (2008). Specification property and distributional chaos almost everywhere. Proceedings of the American Mathematical Society, 136(11), 3931-3940. doi:10.1090/s0002-9939-08-09602-0Peris, A., & Saldivia, L. (2005). Syndetically Hypercyclic Operators. Integral Equations and Operator Theory, 51(2), 275-281. doi:10.1007/s00020-003-1253-9Sigmund, K. (1974). On dynamical systems with the specification property. Transactions of the American Mathematical Society, 190, 285-285. doi:10.1090/s0002-9947-1974-0352411-

The Specification Property for C0-Semigroups

[EN] We study one of the strongest versions of chaos for continuous dynamical systems, namely the specification property. We extend the definition of specification property for operators on a Banach space to strongly continuous one-parameter semigroups of operators, that is, C0-semigroups. In addition, we study the relationships of the specification property for C0-semigroups (SgSP) with other dynamical properties: mixing, Devaney's chaos, distributional chaos, and frequent hypercyclicity. Concerning the applications, we provide several examples of semigroups which exhibit the SgSP with particular interest on solution semigroups to certain linear PDEs, which range from the hyperbolic heat equation to the Black-Scholes equation.The authors were supported by MINECO, Projects MTM2013-47093-P and MTM2016-75963-P. The second and third authors were also supported by Generalitat Valenciana, Projects PROMETEOII/2013/013 and PROMETEO/2017/102. We are indebted to the referee whose valuable comments produced an improvement in the presentation of the paper.Bartoll Arnau, S.; Martínez Jiménez, F.; Peris Manguillot, A.; Ródenas Escribá, FDA. (2019). The Specification Property for C0-Semigroups. Mediterranean Journal of Mathematics. 16(3):1-12. https://doi.org/10.1007/s00009-019-1353-7S112163Albanese, A.A., Barrachina, X., Mangino, E.M., Peris, A.: Distributional chaos for strongly continuous semigroups of operators. Commun. Pure Appl. Anal. 12, 2069–2082 (2013)Aroza, J., Kalmes, T., Mangino, E.: Chaotic $$C_0$$-semigroups induced by semiflows in Lebesgue and Sobolev spaces. J. Math. Anal. Appl. 412, 77–98 (2014)Badea, C., Grivaux, S.: Unimodular eigenvalues, uniformly distributed sequences and linear dynamics. Adv. Math. 211, 766–793 (2007)Banasiak, J., Moszyński, M.: Dynamics of birth-and-death processes with proliferation-stability and chaos. Discrete Contin. Dyn. Syst. 29, 67–79 (2011)Bartoll, S., Martínez-Giménez, F., Peris, A.: The specification property for backward shifts. J. Differ. Equ. Appl. 18, 599–605 (2012)Bartoll, S., Martínez-Giménez, F., Peris, A.: Operators with the specification property. J. Math. Anal. Appl. 436, 478–488 (2016)Bayart, F., Bermúdez, T.: Semigroups of chaotic operators. Bull. Lond. Math. Soc. 41, 823–830 (2009)Bayart, F., Grivaux, S.: Frequently hypercyclic operators. Trans. Am. Math. Soc. 358, 5083–5117 (2006)Bayart, F., Matheron, É.: Dynamics of Linear Operators. Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 179. Cambridge University Press, Cambridge (2009)Bayart, F., Ruzsa, I.Z.: Difference sets and frequently hypercyclic weighted shifts. Ergod. Theory Dyn. Syst. 35, 691–709 (2015)Bermúdez, T., Bonilla, A., Conejero, J.A., Peris, A.: Hypercyclic, topologically mixing and chaotic semigroups on Banach spaces. Stud. 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Chaos for the Dynamics of Toeplitz Operators

[EN] Chaotic properties in the dynamics of Toeplitz operators on the Hardy-Hilbert space H-2(D) are studied. Based on previous results of Shkarin and Baranov and Lishanskii, a characterization of different versions of chaos formulated in terms of the coefficients of the symbol for the tridiagonal case are obtained. In addition, easily computable sufficient conditions that depend on the coefficients are found for the chaotic behavior of certain Toeplitz operators.The first and fourth authors were supported by MCIN/AEI/10.13039/501100011033, Project PID2019-105011GB-I00. The third author's research is partially supported by the Asociacion Mexicana de Cultura A.C. The fourth author was also supported by Generalitat Valenciana, Project PROMETEU/2021/070.Bartoll Arnau, S.; Jiménez-Munguía, RR.; Martínez-Avendaño, RA.; Peris Manguillot, A. (2022). Chaos for the Dynamics of Toeplitz Operators. Mathematics. 10(3):1-14. https://doi.org/10.3390/math1003042511410

Orbit Tracing Properties on Hyperspaces and Fuzzy Dynamical Systems

[EN] Let X be a compact metric space and a continuous map f:X-->X which defines a discrete dynamical system (X,f). The map f induces two natural maps, namely \bar{f}:K(X)-->K(X) on the hyperspace K(X) of non-empty compact subspaces of X and the Zadeh¿s extension \hat{f}:F(X)-->F(X) on the space F(X) of normal fuzzy set. In this work, we analyze the interaction of some orbit tracing dynamical properties, namely the specification and shadowing properties of the discrete dynamical system (X,f) and its induced discrete dynamical systems (K(X),\bar{f}) and (F(X),\hat{f}). Adding an algebraic structure yields stronger conclusions, and we obtain a full characterization of the specification property in the hyperspace, in the fuzzy space, and in the phase space X if we assume that the later is a convex compact subset of a (metrizable and complete) locally convex space and f is a linear operator.This work was supported by MCIN/AEI/10.13039/501100011033, Project PID2019-105011GB-I00, and by Generalitat Valenciana, Project PROMETEU/2021/070.Bartoll Arnau, S.; Martínez Jiménez, F.; Peris Manguillot, A.; Ródenas Escribá, FDA. (2022). Orbit Tracing Properties on Hyperspaces and Fuzzy Dynamical Systems. Axioms. 11(12):1-11. https://doi.org/10.3390/axioms11120733111111

HIPERCICLICIDAD Y CAOS EN OPERADORES DESPLAZAMIENTO

Los operadores desplazamiento a izquierda proporcionan una clase de sistemas dinámicos en espacios infinito dimensionales. En esta memoria se da una caracterización de la hiperciclicidad y del caos, en el sentido de Devaney, de estos operadores.Bartoll Arnau, S. (2008). HIPERCICLICIDAD Y CAOS EN OPERADORES DESPLAZAMIENTO. http://hdl.handle.net/10251/14297Archivo delegad

The specification property in linear dynamics

[EN] The dynamics of linear operators, namely linear dynamics, is mainly concerned with the behaviour of iterates of linear transformations. Hypercyclicity is the study of linear operators that possess a dense orbit. Although the first examples of hypercyclic operators are due to G. D. Birkhoff (in 1929), G. R. MacLane (in 1952) and S. Rolewicz (in 1969), we can date the birth of the linear dynamics in 1982 with the unpublished PhD thesis of C. Kitai. Since then, many mathematicians have contributed to the development of this flourishing new area of the analysis. Linear dynamics connects functional analysis and dynamics. As for the classical dynamical systems, one can study the dynamics of linear operators from a topological point of view. In this context, we state that an operator has the specification property (SP). Precisely, the aim of this PhD thesis is to study the specification property on linear dynamical systems. A continuous map on a compact metric space satisfies the specification property if one can approximate pieces of orbits by a single periodic orbits with a certain uniformity. This Doctoral dissertation is a compendium of articles on the specification property. It is structured in four parts preceded by a chapter which introduces the notation, definitions and the basic results that will be needed throughout the thesis. The shift operators on sequence spaces constitute one of the most important test ground for discrete linear dynamical systems. Due to its simple structure, every time you introduce a new property in linear dynamics it is common to check it on weighted shifts operators. It is for this reason that the first part of this research work is devoted to study the specification property for unilateral and bilateral backward shift operators on weighted l^p-spaces and the relationship with other dynamical properties. In Chapter 3 we extend the results on the SP to shift operators on separable sequence F-spaces. An F-space is a vector space that is endowed with an F-norm and that is complete under the induced metric. The notion of an F-norm has the advantage that one can largely argue as if one was working in a Banach space. One need to be aware of the fact that the positive homogeneity of a norm is no longer available. The spaces l^p with 0 < p < 1 are F-spaces. Chaotic dynamical systems have received a great deal of attention in recent years. An operator is chaotic if it has a dense set of periodic points. The specification property is an interesting and rather strong notion of chaos (in the topological sense). We also consider a qualitative strengthening of hypercyclicity namely frequent hypercyclicity. It was introduced by Bayart and Grivaux, motivated by Birkhoff's ergodic theorem. An operator is frequently hypercyclic if there is some element whose orbit meets every non-empty open set very often. In Chapter 4 the specification property is deeply studied for linear and continuous operators on separable F-spaces. In addition, we are interested in finding out its relation with other dynamical properties such as mixing, Devaney chaos and frequent hypercyclicity. The results that we have achieved have been accepted to be publish in Journal of Mathematical Analysis and Applications. Finally, in the last chapter of this dissertation, we examine the specification property for strongly continuous semigroups on Banach spaces, that is, for C_0-semigroups. They can viewed as the continuous-time analogue of the discrete-time case of iterates of a single operator; in other words, the parameter in the continuous case plays the role of the iterations in the discrete case. Now the translation semigroups substitute the shift operators as test classes. Once again, we study the relationship between the specification property and mixing, chaos and frequent hypercyclicity properties of a C_0-semigroup.[ES] La dinámica de operadores lineales, o simplemente dinámica lineal, estudia las órbitas generadas por las iteraciones de una transformación lineal. La hiperciclicidad es el estudio de los operadores lineales que poseen una órbita densa. Si bien G. D. Birkhoff (en 1929), G. R. MacLane (en 1952) y S. Rolewicz (en 1969) obtuvieron ejemplos de operadores lineales hipercíclicos, podemos fijar el nacimiento de la dinámica lineal en 1982 con la tesis de C. Kitai. Desde entonces muchos matemáticos han contribuido al desarrollo de esta floreciente área del análisis. La dinámica lineal conecta el análisis funcional y la dinámica. Al igual que en sistemas dinámicos clásicos, podemos estudiar la dinámica de operadores lineales desde un punto de vista topológico. En este contexto, hablamos de que un operador tiene la propiedad de especificación (SP). Precisamente, al estudio de la propiedad de especificación en sistemas dinámicos lineales está dedicada la presente tesis doctoral. Una aplicación continua en un espacio métrico satisface la propiedad de especificación si para cualquier familia de puntos podemos aproximar, con una cierta uniformidad, partes de sus órbitas por una sola órbita de un punto periódico. La tesis es un compendio de artículos sobre la propiedad de especificación. Se estructura en cuatro partes precedidas de un capítulo dedicado a introducir la notación, definir los conceptos y enunciar los resultados de ámbito general que van a ser utilizados en el resto de la memoria. Los operadores "shift" (desplazamiento) constituyen una de las clases más importantes, como campo de pruebas, en sistemas dinámicos lineales discretos. Debido a su estructura simple, siempre que se introduce un nuevo concepto en dinámica lineal es habitual comprobarlo sobre shifts ponderados. Por este motivo, en la primera parte de esta memoria, se estudia la propiedad de especificación para operadores desplazamiento unilaterales y bilaterales en espacios l^p ponderados y la relación con otras propiedades dinámicas. En el capítulo 3 se generalizan los resultados sobre la propiedad SP a operadores desplazamiento en F-espacios separables de sucesiones. Un F-espacio es un espacio vectorial, dotado de una F-norma, que es completo con la métrica inducida. La noción de F-norma tiene la ventaja de que permite trabajar como en un espacio de Banach llevando cuidado con la homogeneidad de la norma que ahora no se cumple Los sistemas dinámicos caóticos han recibido gran atención en los últimos años. Un operador lineal es caótico si admite un conjunto denso de puntos periódicos. La propiedad de especificación es una noción de caos (en el sentido topológico) más potente que la debida a Devaney. Otra variante más fuerte que la hiperciclicidad es la hiperciclicidad frequente. Este concepto fue introducido por Bayart y Grivaux motivados por el teorema ergódico de Birkhoff. Un operador es frecuentemente hipercíclico si algún elemento tiene una órbita que corta muy a menudo a cada conjunto abierto no vacío. En el capítulo 4 de esta tesis se estudia con profundidad la propiedad de especificación para operadores lineales y continuos definidos en F-espacios separables. Los resultados que presentamos han sido aceptados para su publicación en J. Math. Anal. Appl. Finalmente, en la cuarta parte de este trabajo, se extiende la propiedad de especificación a semigrupos de operadores fuertemente continuos en espacios de Banach, esto es, C_0-semigrupos. Estos operadores pueden verse como la versión continua del caso discreto correspondiente a las iteraciones de un único operador. Ahora, la labor de los operadores desplazamiento en espacios de sucesiones como clases de prueba la desempeñan los semigrupos de traslación. Al igual que en capítulos anteriores, se estudia la relación de la propiedad SP para C_0-semigrupos con otras propiedades dinámicas.[CA] La dinàmica d'operadors lineals, o simplement dinàmica lineal, estudie les òrbites generades per les iteracions d'una transformació lineal. La hiperciclicitat es el estudi dels operadors lineal que posseeixen una òrbita densa. Si bé G. D. Birkhoff (en 1929), G. R. MacLane (en 1952) y S. Rolewicz (en 1969) van obtenir exemples d'operadors lineals hipercíclics, podem fixar el naixement de la dinàmica lineal en 1982 amb la tesi de C. Kitai [68]. Des de llavors molts matemàtics han contribuït al desenvolupament d'esta florent area de l'anàlisi. La dinàmica lineal connecta el anàlisi funcional y la dinàmica. Igual que en sistemes dinàmics clàssics, podem estudiar la dinàmica d'operadors lineals des d'un punt de vista topològic. En eixe context, parlem que un operador té la propietat d'especificació (SP). Precisament, al estudi de la propietat d'especificació en sistemes dinàmics lineals està dedicada la present tesi doctoral. Una aplicació continua en un espai mètric compleix la propietat d'especificació si per a qualsevol família de punts podem aproximar, amb certa uniformitat, parts de les seues òrbites per una sola òrbita d'un punt periòdic. La tesi es un compendi de articles sobre la propietat d'especificació. S'estructura en quatre parts precedides d'un capítol dedicat a introduir la notació, definir els conceptes i enunciar els resultats d'àmbit general que seran utilitzats en la resta de la memòria. Els operadors "shifts" (desplaçaments) constitueixen una de les classes més importants, com a camp de proves, en sistemes dinàmics lineals discrets. Degut a la seua estructura simple, sempre que es introdueix un nou concepte en dinàmica lineal es habitual comprovar-ho sobre shifts ponderats. Per esta raó, en la primera part d'esta memòria, s'estudia la propietat d'especificació per a operadors desplaçament unilaterals i bilaterals en espais l^p ponderats i la relació amb altres propietats dinàmiques. En el capítol 3 es generalitzen els resultats sobre la propietat SP a operadors desplaçament en F-espais separables de successions. Un F-espai es un espai vectorial, dotat d'una F-norma, que és complet amb la mètrica induida. La noció de F-norma té l'avantatge que permet treballar com en un espai de Banach anant en compte amb l'homogeneitat de la norma que ara no es compleix. Els espais l^p amb 0 < p < 1 són exemples de F-espais. Els sistemes dinàmics caòtics han rebut gran atenció en els últims anys. Un operador lineal és caòtic si admet un conjunt dens de punts periòdics. La propietat d'especificació és una noció de caos (en el sentit topològic) més potent que la deguda a Devaney. Una altra variant més forta que la hiperciclicitat és la hiperciclicitat freqüent. Aquest concepte va ser introduït per Bayart i Grivaux motivats per el teorema ergòdic de Birkhoff. Un operador és freqüentment hipercíclic si algun element té una òrbita que talle molt sovint a cada conjunt obert no vuit. En el capítol 4 d'esta tesi se estudie amb profunditat la propietat d'especificació per a operadors lineals i continus definits en F-espais separables. També s'incideix en la connexió de dita propietat amb altres propietats dinàmiques. Els resultats que presentem han estat acceptats per a la seva publicació en J. Math. Anal. Appl. Finalment, en la quarta part d'aquest treball, s'estén la propietat d'especificació a semigrups d'operadors fortament continus en espais de Banach, això és, C_0-semigrups. Aquests operadors poden veure's com la versió continua del cas discret corresponen a les iteracions d'un únic operador; en altres paraules, el paper de les iteracions en el cas discret ho assumeix el paràmetre en el cas continu. Ara, la labor del operadors desplaçament en espais de successions com classes de prova l'exerceixen els semigrups de translació. Igual que en capítols anteriors, s'estudia la relació de la propietat SP per a C0-semigrups amb altres propieBartoll Arnau, S. (2016). The specification property in linear dynamics [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/61633TESI